Question

1．已知⊙C：x²+y²-6x+5=0，点A、B在⊙C上，且AB=2$\sqrt{3}$，则|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|的最大值为8．

Answer 1

分析 利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$  转化为$\overrightarrow{OM}$，用根据AB=2$\sqrt{3}$得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出$\overrightarrow{OM}$模的最大值，得到本题答案．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（x′，y′）．
∵x′=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y′=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）=2$\overrightarrow{OM}$，
∵圆C：x²+y²-6x+5=0，
∴（x-3）²+y²=4，圆心C（3，0），半径CA=2．
∵点A，B在圆C上，|AB|=2$\sqrt{3}$，
∴|CA|²-|CM|²=（$\frac{1}{2}$|AB|）²，
即|CM|=1．
点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．
∴|OM|≤|OC|+r=3+1=4．
∴|$\overrightarrow{OM}$|≤4，
|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|≤8．
故答案为：8．

点评 本题考查了数形结合思想和函数方程的思想，可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$  转化为$\overrightarrow{OM}$是解题的关键，考查向量的几何意义，转化思想以及计算能力．