Question

设关于x的方程x²-mx-1=0 有两个实根α、β，且α＜β．定义函数．
（1）求αf（α）+βf（β） 的值；
（2）判断f（x） 在区间（α，β） 上的单调性，并加以证明；
（3）若λ，μ 为正实数，求证：．

Answer 1

解：（1）∵α，β 是方程x²-mx-1=0 的两个实根，∴．
∴，
同理，
∴αf（α）+βf（β）=2．
（2）方法一：设α＜x₁＜x₂＜β，
则x₂-x₁＜0，且=
由题设知，x₁²-mx₁-1＜0，x₂²-mx₂-1＜0，
∴（x₁²+x₂²）-m（x₁+x₂）-2＜0，
而2x₁x₂＜x₁²+x₂²，∴2x₁x₂-m（x₁+x₂）-2＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x） 在区间（α，β） 上为增函数．
方法二：∵，
∴，
当x∈（α，β） 时，x²-mx-1=（x-α）（x-β）＜0，
从而f'（x）＞0，∴f（x） 在（α，β） 上为增函数．
（3）∵λ，μ∈R₊ 且α＜β 
∴ 
，，
∴，
由（Ⅱ）可知，
同理可得．   
∴，
∴．   

分析：（1）若α，β 是方程x²-mx-1=0 的两个实根，由韦达定理我们易得到两根之和与两根之积，然后根据函数，我们可以求出f（α），f（β）的值，进而得到αf（α）+βf（β） 的值；
（2）方法一：任取α＜x₁＜x₂＜β，我们根据已知中函数的解析式，判断f（x₁），f（x₂）的大小，然后根据函数单调性的定义即可得到结论；
方法二：根据已知函数的解析式，求出函数的导函数，分析导函数的符号，即可得到结论．
（3）根据比例的性质我们可以得到：，，然后根据（2）的结论，易得，． 进而根据绝对值的性质即可得到结论．
点评：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，一元二次方程的根的分布与系数的关系，及不等式的证明，其中（1）的关键是熟练掌握韦达定理，（2）的关键是判断差的符号，（3）的关键是判断出，将问题转化为函数单调性的应用．