Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设曲线和交于，两点，点，若，，成等比数列，求的值.

Answer 1

【答案】（1）曲线的普通方程是：，曲线的直角坐标方程为：； （2）

【解析】

（1）根据参数方程化普通方程、极坐标与直角坐标互化的原则进行化简即可得到结果；（2）利用在上，可写出直线参数方程的标准形式；将参数方程代入的普通方程，利用的几何意义可知：，，；根据，，成等比数列，结合韦达定理可得到关于的方程，解方程求得结果.

（1）由题意得：曲线的普通方程是：

曲线的直角坐标方程为：

（2）易知在上 可设直线的参数方程为：（为参数）

将直线的参数方程代入曲线的普通方程，可得：

，整理可得：

设对应的参数分别是，则，，

，

又，，成等比数列

则

即：，解得：