【题目】如图,在四棱锥中,
,
,
,且
,
.
(1)证明:平面
;
(2)在线段上,是否存在一点
,使得二面角
的大小为
?如果存在,求
的值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)见证明 (2)见解析
【解析】
(1)推导出AB⊥AC,AP⊥AC,AB⊥PC,从而AB⊥平面PAC,进而PA⊥AB,由此能证明PA⊥平面ABCD;
(2)以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出在线段PD上,存在一点M,使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°,4﹣2
.
(1)∵在底面中,
,
且
∴,
∴
又∵,
,
平面
,
平面
∴平面
又∵
平面
∴
∵,
∴
又∵,
,
平面
,
平面
∴平面
(2)方法一:在线段上取点
,使
则
又由(1)得平面
∴
平面
又∵平面
∴
作
于
又∵,
平面
,
平面
∴平面
又∵
平面
∴
又∵ ∴
是二面角
的一个平面角
设 则
,
这样,二面角的大小为
即
即
∴满足要求的点存在,且
方法二:取的中点
,则
、
、
三条直线两两垂直
∴可以分别以直线、
、
为
、
、
轴建立空间直角坐标系
且由(1)知是平面
的一个法向量
设 则
,
∴,
设是平面
的一个法向量
则 ∴
令,则
,它背向二面角
又∵平面的法向量
,它指向二面角
这样,二面角的大小为
即
即
∴满足要求的点存在,且
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【题目】袋子中有四个小球,分别写有“美、丽、中、国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“中、国、美、丽”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为
A. B.
C.
D.
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【题目】某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示.墩的上半部分是正四棱锥P﹣EFGH,下半部分是长方体ABCD﹣EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图.
(1)请画出该安全标识墩的侧视图;
(2)求该安全标识墩的体积.
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【题目】已知点A(0,-2),椭圆E: (a>b>0)的离心率为
,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为
,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
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【题目】已知椭圆C: 的右焦点为
,离心率
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知动直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,试问x轴上是否存在定点M ,使得恒成立?若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】2012年“双节”期间,高速公路车辆较多某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速
分成六段:
,
,
,
,
后得到如图的频率分布直方图.
某调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法?
求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.
若从车速在
的车辆中任抽取2辆,求车速在
的车辆至少有一辆的概率.
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