Question

【题目】已知抛物线的焦点为，直线，点，是抛物线上的动点.

（1）求的最小值及相应点的坐标；

（2）点到直线距离的最小值及相应点的坐标；

（3）直线过点与抛物线交于、两点，交直线于点，若，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）3，；（2），；（3）0.

【解析】

(1)根据抛物线的定义转换线段关系求解即可.

(2)设再求出点到线的距离公式分析最值即可.

(3)设直线方程为,再联立直线与抛物线和,分别表示出的坐标,再根据,表达出再代入韦达定理化简即可.

(1) 作垂直于准线于,则,由图易得当直线轴时取得最小值 ,此时与横坐标相同,此时.

即当时取得最小值3.

(2) 设则点到直线距离

.当时取最小值.

故当时到直线距离的最小值取.

(3)显然直线有斜率,设直线方程为..

联立.则.

.

又 ,故,故,

,故,故.

所以.

又

.故