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正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为AA1、BB1的中点.
求:(1)CM与D1N所成角的余弦值.
(2)D1N与平面MBC所成角的余弦值.
(1)以D为坐标原点,以DA,DC,DD1分别为X,Y,Z轴正方向建立空间坐标系,D-xyz,
∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为AA1、BB1的中点
则C(0,2,0)、D1(0,0,2)、M(2,0,1)、N(2,2,1)
CM
=(2,-2,1),
D1N
=(2,2,-1)

cos<
CM
D1N
>=
CM
D1N
|
CM
|
D1N
||
=-
1
9

但CM与D1N所成的角应是
CM
D1N
的补角,∴CM与D1N所成的角的余弦值为
1
9

(2)
BM
=(0,-2,1),
BC
=(-2,0,0)
则可得平面MBC的法向量
n
=(
0,1,2),
D1N
n
夹角的余弦值cos<
D1N
n
>=0
,则D1N与平面MBC所成角的余弦值为1
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,AA1=2,∠ACB=90°,M是A1B1的中点.
(1)求证:C1M⊥平面ABB1A1
(2)求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知正△ABC的顶点A在平面α内,顶点B,C在平面α的同一侧,D为BC的中点,若△ABC在平面α内的射影是以A为直角顶点的三角形,则直线AD与平面α所成角的正弦值的最小值为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,正三棱柱的九条棱都相等,三个侧面都是正方体,M、N分别是BC和A1C1的中点,求MN与CC1所成角的余弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

三棱锥P-ABC中,AP=AC,PB=2,将此三棱锥沿三条侧棱剪开,其展开图是一个直角梯形p1p2p3A,如图.
(1)求证:PB⊥AC
(2)求PB与面ABC所成角的大小.
(3)(只理科做)求三棱锥P-ABC外接球的面积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,点D是AB的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥BC1
(Ⅱ)求证:AC1平面CDB1
(Ⅲ)若BB1=4,求CB1与平面AA1B1B所成角的正切值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,边长为2的正方形A1ACC1绕直线CC1旋转90°得到正方形B1BCC1,D为CC1的中点,E为A1B的中点,G为△ADB的重心.
(1)求直线EG与直线BD所成的角;
(2)求直线A1B与平面ADB所成的角的正弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形,侧面PAD是等边三角形,其中BA⊥AD,CD⊥AD,CD=2AD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,E是PC的中点.
(1)求证:BE平面PAD;
(2)求证:BE⊥CD;
(3)求BD与平面PDC所成角的正弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论中正确的是______.(把你认为正确的结论都填上)
①BD平面CB1D1
②AC1⊥平面CB1D1
③AC1与底面ABCD所成角的正切值是
2

④二面角C-B1D1-C1的正切值是
2

⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条.

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同步练习册答案