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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,AA1=2,∠ACB=90°,M是A1B1的中点.
(1)求证:C1M⊥平面ABB1A1
(2)求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值.
(1)证明:∵直三棱柱ABC-A1B1C1∴AA1⊥面A1B1C1
又C1M?A1B1C1∴C1M⊥AA1(2分)∵A1C1=B1C1=1,M是A1B1的中点∴C1M⊥A1B1(4分)
又AA1∩A1B1=A1∴C1M⊥平面ABB1A1(6分)
(2)设BC,BB1的中点分别为R、N连接RN,连接MN,则MNA1B,NRB1C
∴∠MNR是异面直线A1B与B1C所成角或其补角(9分)
设点P为AB的中点,连接MP,MR
在Rt△MPR中,MR=
22+(
1
2
)
2
=
在△MNR中,MN=A1B=
6
2
,RN=
1
2
B1C=
5
2
,MR=
17
2

由余弦定理得:
cos∠MNR=
MN2+RN2-MR2
2MN×RN
=
(
6
2
)
2
+(
5
2
)
2
-(
17
2
)
2
6
2
×
5
2
=-
30
10
(11分)
∴异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为
30
10
(12分)
练习册系列答案
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长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(  )
A.
10
10
B.
30
10
C.
2
15
10
D.
3
10
10

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如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1,高为h(h>3),点M在侧棱BB1上移动,并且M到底面ABC的距离为x,且AM与侧面BCC1B1所成的角为α.
(1)若α在区间[
π
6
π
4
]
上变化,求x的变化范围;
(2)若α为
π
6
,求AM与BC所成角的余弦值.

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点E是正四面体ABCD的棱AD的中点,则异面直线BE与AC所成的角的余弦值为(  )
A.
3
6
B.
3
3
C.
6
3
D.
5
6

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已知正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点.
(1)求证:C1O面AB1D1
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正四面体A-BCD中,异面直线AB与CD所成角为(  )
A.
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
2

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角,点C到达点C1,这时异面直线AD与BC1所成的角的余弦值是(  )
A.
2
2
B.
1
2
C.
3
4
D.
3
4

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

长方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1=BC,P为C1D1上一点,则异面直线PB与B1C所成角的大小(  )
A.是45°B.是60°
C.是90°D.随P点的移动而变化

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为AA1、BB1的中点.
求:(1)CM与D1N所成角的余弦值.
(2)D1N与平面MBC所成角的余弦值.

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