Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x+1，且f（0）=1
（1）求f（x）的表达式；
（2）当-1≤x≤1时，f（x）≤3x+m恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题意可设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）然后根据条件f（0）=1，知f（x）=ax²+bx+1，f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+2ax+a+bx+b+1，再由条件f（x+1）-f（x）=2x+1，知2ax+a+b=2x+1，求出a，b，c的值即可求出f（x）的解析式．
（2）由题设知当-1≤x≤1时，x²+1≤3x+m恒成立，所以当-1≤x≤1时，（x-

3

2

）²≤m+

5

4

恒成立，由此能求出实数m的最小值．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（0）=1
∴c=1
∴f（x）=ax²+bx+1，
f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+2ax+a+bx+b+1，
∵f（x+1）-f（x）=2x+1
∴2ax+a+b=2x+1
∴

2a=2 a+b=1

∴a=1，b=0．
∴f（x）=x²+1
（2）∵当-1≤x≤1时，f（x）≤3x+m恒成立，
∴由（1）知当-1≤x≤1时，x²+1≤3x+m恒成立，
∴当-1≤x≤1时，（x-

3

2

）²≤m+

5

4

恒成立，
当x=1时，（x-

3

2

）²_max=

25

4

，
∴

25

4

≤m+

5

4

，
∴m≥5．
∴当-1≤x≤1时，f（x）≤3x+m恒成立，实数m的最小值是5．

点评：本题主要考察一元二次函数的解析式的求解和利用一元二次函数单调性求最值．解题的关键是要熟记一元二次函数的表达式f（x）=ax²+bx+c（a≠0）和其单调区间．