Question

20．写出函数f（x）=$\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}$-4的定义域，判断并证明其奇偶性和单调性，并求出其所有零点和值域．

Answer 1

分析 根据函数成立的条件，求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义以及求出函数的导数，研究函数的单调性，从而可以求出函数的值域．

解答 解：要使函数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{5+x≥0}\\{5-x≥0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≥-5}\\{x≤5}\end{array}\right.$，
即-5≤x≤5，函数的定义域为[-5，5]，
f（-x）=$\sqrt{5-x}$+$\sqrt{5+x}$-4=f（x），
则函数f（x）是偶函数，
函数的导数f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{5+x}}$-$\frac{1}{2\sqrt{5-x}}$=$\frac{\sqrt{5-x}-\sqrt{5+x}}{2\sqrt{25-{x}^{2}}}$，
由f′（x）＞0得$\sqrt{5-x}$-$\sqrt{5+x}$＞0，得$\sqrt{5-x}$＞$\sqrt{5+x}$，即5-x＞5+x，得-5≤x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得$\sqrt{5-x}$-$\sqrt{5+x}$＜0，得$\sqrt{5-x}$＜$\sqrt{5+x}$，即5-x＜5+x，得0＜x≤5，此时函数单调递减，
即函数的单调递增区间为[-5，0]，单调递减区间为[0，5]，
即当x=0时，函数取得最大值f（0）=2$\sqrt{5}-4$，
∵f（5）=$\sqrt{10}$-4，f（-5）=$\sqrt{10}$-4，∴函数的最小值为$\sqrt{10}$-4，
则函数的值域为[$\sqrt{10}$-4，2$\sqrt{5}-4$]．
∵f（4）=$\sqrt{9}$+1-4=3+1-4=0，f（-4）=$\sqrt{9}$+1-4=3+1-4=0，
∴函数f（x）的零点为-4，4．

点评 本题主要考查函数性质的考查，根据函数定义域，值域，单调性奇偶性的定义是解决本题的关键．