Question

11．已知a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明数列{lg（1+a_n）}是等比数列；
（2）设T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n），求T_n及数列{a_n}的通项；
（3）记${b_n}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_n}+2}}$，求数列{b_n}的前n项S_n，并证明${S_n}+\frac{2}{{3{T_n}-1}}=1$．

Answer 1

分析 （1）通过将点（a_n，a_n+1）代入函数f（x）=x²+2x方程，两边加1、结合完全平方公式可得a_n+1+1=$（{a}_{n}+1）^{2}$，两边取对数即可；
（2）通过（1）及a₁=2即lg（1+a₁）=lg3可得a_n=${3}^{{2}^{n-1}}$-1，利用同底指数乘法的性质计算即可；
（3）①通过对a_n+1=a_n（a_n+2）取倒数、裂项，整理可得$\frac{1}{{a}_{n}+2}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{2}{{a}_{n+1}}$，进而有${b_n}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_n}+2}}$=2（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$），并项相加即可；②通过T_n=${3}^{{2}^{n}-1}$，计算易知$\frac{2}{3{T}_{n}-1}$=$\frac{2}{{3}^{{2}^{n}}-1}$，比较即得结论．

解答 （1）证明：∵点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，
∴a_n+1=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n，
∴a_n+1+1=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n+1=$（{a}_{n}+1）^{2}$，
∵a₁=2，∴a_n+1＞1，
两边取对数得 lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），
即$\frac{lg（1+{a}_{n+1}）}{lg（1+{a}_{n}）}$=2，
∴数列{lg（1+a_n）}是公比为2的等比数列；
（2）解：∵a₁=2，∴lg（1+a₁）=lg3，
∴lg（1+a_n）=2^n-1•lg3=lg${3}^{{2}^{n-1}}$，
∴1+a_n=${3}^{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=${3}^{{2}^{n-1}}$-1；
∴T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）
=${3}^{{2}^{0}}$•${3}^{{2}^{1}}$•${3}^{{2}^{2}}$•…•${3}^{{2}^{n-1}}$
=${3}^{{2}^{0}+{2}^{1}+{2}^{2}+…+{2}^{n-1}}$
=${3}^{\frac{1-{2}^{n}}{1-2}}$
=${3}^{{2}^{n}-1}$；
（3）①解：∵a_n+1=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n=a_n（a_n+2），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+2}$），
∴$\frac{1}{{a}_{n}+2}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{2}{{a}_{n+1}}$，
∴${b_n}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_n}+2}}$
=$\frac{1}{{a}_{n}}$+（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{2}{{a}_{n+1}}$）
=2（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=2（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）
=2（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$），
∵a_n=${3}^{{2}^{n-1}}$-1，a₁=2，
∴a_n+1=${3}^{{2}^{n}}$-1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{3}^{{2}^{n}}-1}$，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_n=2（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{{2}^{n}}-1}$）=1-2•$\frac{1}{{3}^{{2}^{n}}-1}$，
∴数列{b_n}的前n项S_n=1-2•$\frac{1}{{3}^{{2}^{n}}-1}$；
②证明：∵T_n=${3}^{{2}^{n}-1}$，
∴$\frac{2}{3{T}_{n}-1}$=$\frac{2}{3•{3}^{{2}^{n-1}}-1}$=$\frac{2}{{3}^{{2}^{n-1}+1}-1}$=$\frac{2}{{3}^{{2}^{n}}-1}$，
又∵S_n=1-2•$\frac{1}{{3}^{{2}^{n}}-1}$，
∴S_n+2•$\frac{1}{{3}^{{2}^{n}}-1}$=1，
∴${S_n}+\frac{2}{{3{T_n}-1}}=1$．

点评 本题是一道关于数列的综合题，考查运算求解能力，熟练掌握利用取对数法把已知转化为等比数列问题求解、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”法等是解题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．