Question

2．已知△ABC的三内角A，B，C满足2B=A+C，则$cos（\frac{π}{3}-A）+cosC$的取值范围为（0，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 由题意可得B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$．利用两角和差的余弦公式化简$cos（\frac{π}{3}-A）+cosC$ 为$\sqrt{3}$sinA，再根据A∈（0，$\frac{2π}{3}$），利用正弦函数的定义域和值域求得 $\sqrt{3}$sinA 的范围．

解答 解：由于△ABC的三内角A，B，C满足2B=A+C，则B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$．
则$cos（\frac{π}{3}-A）+cosC$=cos（$\frac{π}{3}$-A）-cos（$\frac{π}{3}$+A）=cos$\frac{π}{3}$cosA+sin$\frac{π}{3}$sinA-[cos$\frac{π}{3}$cosA-sin$\frac{π}{3}$sinA]=2sin$\frac{π}{3}$sinA=$\sqrt{3}$sinA，
再根据A∈（0，$\frac{2π}{3}$），可得sinA∈（0，1]，∴$\sqrt{3}$sinA∈（0，$\sqrt{3}$]，
故答案为：（0，$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查两角和差的余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．