Question

已知直线L被两平行直线L₁：2x-5y=-9与L₂：2x-5y-7=0所截线段AB的中点恰在直线x-4y-1=0上，已知圆C：（x+4）²+（y+1）²=25．
（Ⅰ）求两平行直线L₁与L₂的距离；
（Ⅱ）证明直线L与圆C恒有两个交点；
（Ⅲ）求直线L被圆C截得的弦长最小时的方程．

Answer 1

解：（1）根据两平行直线的距离公式可得：
（2）由题意，与两平行直线L₁：2x-5y+9=0与L₂：2x-5y-7=0等距离的直线可设为2x-5y+c=0
则根据距离公式可得：|c-9|=|c+7|，∴c=1，
∴与两平行直线L₁：2x-5y+9=0与L₂：2x-5y-7=0等距离的直线为2x-5y+1=0
∴AB的中点必在直线2x-5y+1=0上
又由2x-5y+1=0，x-4y-1=0可知，两直线的交点为P（-3，-1）
∴直线L恒过定点P（-3，-1）
∵（-3+4）²+（-1+1）²＜25．
∴P（-3，-1）在圆C的内部
∴直线L与圆C恒有两个交点；
（3）直线L被圆C截得的弦长最小时，CP⊥L
∵C（-4，-1），P（-3，-1）
∴所求直线方程为x=-3
分析：（1）根据两平行直线的距离公式可得两平行直线L₁与L₂的距离；
（2）先求与两平行直线L₁：2x-5y+9=0与L₂：2x-5y-7=0等距离的直线，再求出与x-4y-1=0的交点，从而可得直线L恒过定点P（-3，-1），进而P（-3，-1）在圆C的内部，从而可知直线L与圆C恒有两个交点；
（3）直线L被圆C截得的弦长最小时，CP⊥L，根据C（-4，-1），P（-3，-1），即可求得
点评：本题以两条平行线为载体，考查两平行线间的距离公式，考查两条直线的交点，同时考查点与圆，直线与圆的位置关系，解题的关键是正确运用两平行线间的距离公式，合理转化．