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已知直线L被两平行直线L1:2x-5y=-9与L2:2x-5y-7=0所截线段AB的中点恰在直线x-4y-1=0上,已知圆C:(x+4)2+(y+1)2=25. 
(Ⅰ)求两平行直线L1与L2的距离;
(Ⅱ)证明直线L与圆C恒有两个交点;
(Ⅲ)求直线L被圆C截得的弦长最小时的方程.
分析:(1)根据两平行直线的距离公式可得两平行直线L1与L2的距离;
(2)先求与两平行直线L1:2x-5y+9=0与L2:2x-5y-7=0等距离的直线,再求出与x-4y-1=0的交点,从而可得直线L恒过定点P(-3,-1),进而P(-3,-1)在圆C的内部,从而可知直线L与圆C恒有两个交点;
(3)直线L被圆C截得的弦长最小时,CP⊥L,根据C(-4,-1),P(-3,-1),即可求得
解答:解:(1)根据两平行直线的距离公式可得:d=
|9-(-7)|
4+25
=
16
29
29

(2)由题意,与两平行直线L1:2x-5y+9=0与L2:2x-5y-7=0等距离的直线可设为2x-5y+c=0
则根据距离公式可得:|c-9|=|c+7|,∴c=1,
∴与两平行直线L1:2x-5y+9=0与L2:2x-5y-7=0等距离的直线为2x-5y+1=0
∴AB的中点必在直线2x-5y+1=0上
又由2x-5y+1=0,x-4y-1=0可知,两直线的交点为P(-3,-1)
∴直线L恒过定点P(-3,-1)
∵(-3+4)2+(-1+1)2<25.
∴P(-3,-1)在圆C的内部
∴直线L与圆C恒有两个交点;
(3)直线L被圆C截得的弦长最小时,CP⊥L
∵C(-4,-1),P(-3,-1)
∴所求直线方程为x=-3
点评:本题以两条平行线为载体,考查两平行线间的距离公式,考查两条直线的交点,同时考查点与圆,直线与圆的位置关系,解题的关键是正确运用两平行线间的距离公式,合理转化.
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