Question

13．如图，三棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PD=$\sqrt{2}$AB且PE=3EB时，求AE与平面PDB所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由线面垂直得到PD⊥AC，由正方形性质得到BD⊥AC，所以AC⊥平面PDB，由此能证明平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）根据直线和平面所成角的定义作出线面角，结合三角形的边角关系进行求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵四棱锥底面为正方形，
∴AC⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面AEC，
∴平面PBD⊥平面AEC；
（2）设AC∩BD=O，连接OE，
由（1）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴设AB=a，∴AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
则△PDB中，PD=BD=$\sqrt{2}$a，
∴∠EBO=45°，EB=$\frac{1}{3}$PE=$\frac{1}{4}$PB=$\frac{1}{4}$•2a=$\frac{a}{2}$，
在△BOE中，BO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，EO=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}{a}^{2}}{2}cos45°}$=$\frac{a}{2}$，
∵AO⊥OE，
∴tan∠OEA=$\frac{AO}{EO}$=$\sqrt{2}$，
即AE与平面PDB所成的角的正切值是$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判断以及直线和平面所成角的求解，根据相应的判定定理以及线面角的定义是解决本题的关键．