Question

已知函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f'（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}和数列{b_n}满足等式：an=

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…+

bn

2n

(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）求出合适f（x）将点（n，S_n）代入f（x）的解析式，得到前n项和，利用项与和的关系求出数列的通项．
（2）利用数列的已知等式仿写另一个等式，两个式子相减得到数列{b_n}的通项，判断出从第二项起是等比数列，利用等比数列的前n项和公式求出前n项和．

解答：解：（1）∵函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f'（x）=6x-2
∴f（x）=3x²-2x
∵点（n，S_n）（n∈N^*）在函数y=f（x）的图象上．
∴S_n=3n²-2n
当n=1时，a₁=S₁=1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）=6n-5
当n=1时适合上式
故数列{a_n}的通项公式为a_n=6n-5
（2）∵an=

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…+

bn

2n

(n∈N*)
∴an-1= 

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…+

bn-1

2n-1

(n∈N*)
两式相减得

bn

2n

=6
∴b_n=6•2ⁿ（n≥2）
当n=1时，b₁=2
∴T_n=2+6（2²+2³+…+2ⁿ）=3•2ⁿ⁺²-22

点评：已知数列的和求数列的通项，一般是仿写另一个等式，利用两个式子相减，但注意n=1时单独讨论．