Question

已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[0，2]时，f（x）=（x-1）²，如果g（x）=f（x）-log₅|x-5|，则函数y=g（x）的所有零点之和为（　　）

A．20

B．40

C．60

D．80

Answer 1

分析：先根据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，以及令h（x）=log₅|x-5|的图象，结合图象可得当x＞10时，h（x）=log₅|x-5|＞1，此时与函数y=f（x）无交点，再根据y=log₅|x-5|的图象关于直线x=5对称，结合图象即可判定函数g（x）=f（x）-log₅|x-5|的零点之和；

解答：解：由题意可得g（x）=f（x）-log₅|x-5|，根据周期性画出函数f（x）=（x-1）²的图象，
g（x）=f（x）-log₅|x-5|有零点，可得g（x）=0即f（x）=log₅|x-5|，
以及h（x）=log₅|x-5|的图象，

根据h（x）=log₅|x-5|在（5，+∞）上单调递增函数，当x=6 时，h（x）=log₅|6-5|=0，
∴当x＞10时，y=log₅|x-5|＞1，此时与函数y=f（x）无交点．
再根据h（x）=log₅|x-1|的图象和 f（x）的图象都关于直线x=5对称，结合图象可知有8个交点，
则函数g（x）=f（x）-log₅|x-5|的零点之和为4×10=40，
故选B

点评：本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数g（x）=f（x）-|log₅x-5|的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易，属于中档题．