Question

已知x，y∈R，集合A={（x，y）丨x²-y²=1}，B={（x，y）丨y=t（x+2）+2}，若A∩B是单元素集合，则t的个数为

 

．

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：由题意，集合A表示等轴双曲线上的点的集合；集合B表示恒过点（-2，2）的点的集合．由此能求出A∩B为单元素集时，B集合表示的直线有2条．

解答： 解：由题意，集合A表示等轴双曲线上的点的集合；
集合B表示恒过点（-2，2）的点的集合；
∵双曲线的顶点坐标为（-1，0），（1，0），
①y=t（x+2）+2与x²-y²=1相交时：∵点（-2，2）在一条渐近线y=-x上，
∴过点（-2，2）与渐近线平行的直线只有一条；
②y=t（x+2）+2与x²-y²=1相切时：联立

y=t(x+2)+2 x2-y2=1

，得（t²-1）x²+（4t²+4t）x+4t²+8t+5=0，
△=（4t²+4t）²-4（t²-1）（4t²+8t+5）=0，
整理，得3t²+8t+5，
解得t=-1或t=-

5

3

，
t=-1时，y=t（x+2）+2=-x，与双曲线的一条渐近线重合，不成立，
故t=-1不成立．
∴t=-

5

3

．
即y=t（x+2）+2与x²-y²=1相切时只有一条；
综上所述，A∩B为单元素集时，B集合表示的直线有2条
∴t值的个数是2．
故答案为：2．

点评：本题考查实数值的个数的求法，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．