【错解分析】此题若直接应用重要不等式证明,显然a+
和 b+
不能同时取得等号,如果忽略这一点就很容易出错了。
【正解】证法一:(分析综合法)欲证原式,即证4(ab)
2+4(a
2+b
2)-25ab+4≥0,
即证4(ab)
2-33(ab)+8≥0,
即证ab≤
或ab≥8.
∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≥8不可能成立
∵1=a+b≥2
,∴ab≤
,从而得证.
证法二:(均值代换法)设a=
+t
1,b=
+t
2.∵a+b=1,a>0,b>0,∴t
1+t
2=0,|t
1|<
,|t
2|<
显然当且仅当t=0,即a=b=
时,等号成立.
证法三:(比较法)∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2
,∴ab≤
证法四:(综合法)∵a+b=1, a>0,b>0,∴a+b≥2
,∴ab≤
.
证法五:(三角代换法)∵ a>0,b>0,a+b=1,故令a=sin
2α,b=cos
2α,α∈(0,
)
【点评】证明不等式时,要依据题设、题目的特点和内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤、技巧和语言特点。不等式证明常用的方法有:
(1)比较法:比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述;如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则考虑用判别式法证.
(2)综合法和分析法:综合法是由因导果,而分析法是执果索因,两法相互转换,互相渗透,互为前提,充分运用这一辩证关系,可以增加解题思路,开扩视野.
(3)不等式证明还有一些常用的方法:换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换,均值代换两种,在应用换元法时,要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩要有的放矢,目标可以从要证的结论中考查.有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题,适宜用反证法.