【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上分别为左、右焦点,椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形,且.
(1)求椭圆方程;
(2)对于x轴上的某一点T,过T作不与坐标轴平行的直线L交椭圆于两点,若存在x轴上的点S,使得对符合条件的L恒有成立,我们称S为T的一个配对点,当T为左焦点时,求T的配对点的坐标;
(3)在(2)条件下讨论当T在何处时,存在有配对点?
【答案】(1)(2)(-4,0)(3)
【解析】
(1)设椭圆的顶点为P,由可得,由结合椭圆的定义可得2a,结合可求椭圆的方程
(2)可设过T的直线方程为,,联立椭圆方程整理可得,设,,,由得即,结合方程的根与系数的关系代入可求a
(3)设,直线的方程,,使得对符合条件的L恒有成立,则T必须在之间即
同(2)的整理方法,联立直线与椭圆方程由可得,,同(2)的方法一样代入可求
解:(1)设椭圆的顶点为P,由可得
可得
,
椭圆的方程为:
(2),
则过可设过T的直线方程为,,
联立椭圆方程整理可得
设,,,则,
整理可得
即
(3)设,直线的方程,
使得对符合条件的L恒有成立,则T必须在之间即
同(2)的整理方法,联立直线与椭圆方程可得,,
由可得,
同(2)的方法一样代入可求.
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【题目】已知数列满足:,,.
(1)求的值;
(2)设,求证:数列是等比数列,并求出其通项公式;
(3)对任意的,,在数列中是否存在连续的项构成等差数列?若存在,写出这项,并证明这项构成等差数列:若不存在,请说明理由.
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【题目】已知数列的前项和为,且,().
(1)计算,,,,并求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求证:数列是等比数列;
(3)由数列的项组成一个新数列:,,,,,设为数列的前项和,试求的值.
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【题目】如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论中:①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直线BC∥平面PAE;④∠PDA=45°.
其中正确的有____________(把所有正确的序号都填上).
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【题目】设数列的前项和为,若,则称是“数列”.
(1)若是“数列”,且,,,,求的取值范围;
(2)若是等差数列,首项为,公差为,且,判断是否为“数列”;
(3)设数列是等比数列,公比为,若数列与都是“数列”,求的取值范围.
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【题目】符合以下性质的函数称为“函数”:①定义域为,②是奇函数,③(常数),④在上单调递增,⑤对任意一个小于的正数,至少存在一个自变量,使.下列四个函数中,,,中“函数”的个数为( )
A.个B.个C.个D.个
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【题目】已知函数(,为实数),.
(1)若函数的最小值是,求的解析式;
(2)在(1)的条件下,在区间上恒成立,试求的取值范围;
(3)若,为偶函数,实数,满足,,定义函数,试判断值的正负,并说明理由.
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【题目】当前,旅游已经成为新时期人民群众美好生活和精神文化需求的重要内容.旅游是综合性产业,是拉动经济发展的重要动力,也为整个经济结构调整注入活力.文化旅游产业研究院发布了《2019年中国文旅产业发展趋势报告》,报告指出:旅游业稳步增长,每年占国家GDP总量的比例逐年增加,如图及下表为2014年到2018年的相关统计数据.
旅游收入占国家GDP总量比例趋势 | |||||
年份: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
占比: | 10.4 | 10.8 | 11.0 | 11.0 | 11.2 |
(1)根据以上数据,求出占比关于年份的线性回归方程;
(2)根据(1)所求线性回归方程,预测2019年的旅游收入所占的比例.
附:.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的离心率为,右准线的方程为分别为椭圆C的左、右焦点,A,B分别为椭圆C的左、右顶点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过作斜率为的直线l交椭圆C于M,N两点(点M在点N的左侧),且,设直线AM,BN的斜率分别为,求的值.
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