Question

已知球O在一个棱长为2

3

的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O的表面积等于（　　）

• A、4

  3

  π
• B、

  4 3 π

  3

• C、2π
• D、

  2π

  3

Answer 1

分析：已知球O在一个棱长为2

3

的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O与此正四面体的四个面相切，即球心到四个面的距离都是半径，由等体积法求出球的半径，再由公式求体积

解答：解：由题意，此时的球与正四面体相切，
由于棱长为2

3

的正四面体，故四个面的面积都是

1

2

×2

3

×2

3

sin∠60°=3

3

又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的

2

3

，又高为2

3?

sin∠60°=3，故底面中心到底面顶点的距离都是2
由此知顶点到底面的距离是

(2 3 )2-22

=2

2

此正四面体的体积是

1

3

×2

2

×3

3

=2

6

又此正四面体的体积是

1

3

×r×3

3

×4，故有r=

2 6

4 3

=

2

2

球O的表面积等于4×π×(

2

2

)2=2π
故选C

点评：本题考查球的体积和表面积，解答本题关键是理解球O是该正四面体的最大球，从中得出此时球是正四面体的内切球，从而联想到用等体积法求出球的半径，熟练掌握正四面体的体积公式及球的表面积公式是正确解题的知识保证．