Question

10．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{1}{2n-1}$，n∈N^*
（1）求数列{$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n
（2）设b_n=a_na_n+1，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=$\frac{1}{2n-1}$，n∈N^*，则$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2n-1}+2}{\frac{1}{2n-1}}$=4n-1，数列{$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$}是以3为首项，以4为公差的等差数列，根据等差数列前n项和公式，即可求得S_n；
（2）由b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），采用“裂项法”，即可求得{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由a_n=$\frac{1}{2n-1}$，n∈N^*，
∴$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2n-1}+2}{\frac{1}{2n-1}}$=4n-1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$}是以3为首项，以4为公差的等差数列，
∴数列{$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n=$\frac{（3+4n-1）n}{2}$=2n²+n，
（2）b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴{b_n}的前n项和T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]，
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
T_n=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查等差数列前n项和公式，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．