Question

8．设函数f（x）=4lnx+ax²+bx（a，b∈R），f′（x）是 f（x）的导函数，且1和4分别是f（x）的两个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）若对于?x₁∈[1，e]，?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+λ[f′（x₂）+5]＜0成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b的方程，解出a，b的值，从而求出f（x）的解析式，求出函数的递减区间即可；
（Ⅱ）根据函数的单调性问题转化为“?x₂∈[1，e]，使λ（x+$\frac{4}{x}$）＜$\frac{9}{2}$”，即“?x₂∈[1，e]，使λ＜$\frac{9}{2（x+\frac{4}{x}）}$成立”，求出λ的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{4}{x}$+2ax+b=$\frac{2{ax}^{2}+bx+4}{x}$（x＞0），
∵1和4别是f（x）的两个极值点，
∴1和4别是f′（x）=0的两根，
∴1+4=-$\frac{b}{2a}$，1×4=$\frac{4}{2a}$，解得a=$\frac{1}{2}$，b=-5，
∴f（x）=4lnx+$\frac{1}{2}$x²-5x．  …（3分）
由上得f′（x）=$\frac{4}{x}$+x-5=$\frac{（x-1）（x-4）}{x}$（x＞0））
由f′（x）＜0，解得1＜x＜4．故f（x）的单调递减区间为（1，4）…（4分）
（Ⅱ）对于?x₁∈[1，e]，?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+λ[f′（x₂）+5]＜0成立，
?等价于“?x₂∈[1，e]，使得λ[f′（x₂）+5]＜[-f（x₁）]_min，x₁∈[1，e]．
由上可得：x₁∈[1，e]，f（x₁）单调递减，故-f（x₁）单调递增，
∴[-f（x₁）]_min=-f（1）=$\frac{9}{2}$； …（6分）
又x₂∈[1，e]，时，f′（x₂）+5=$\frac{4}{{x}^{2}}$+x₂＞0且在[1，2]上递减，在[2，e]递增，
∴[f′（x₂）]_min=f′（2）=4，…（8分）
从而问题转化为“?x₂∈[1，e]，使λ（x+$\frac{4}{x}$）＜$\frac{9}{2}$”，
即“?x₂∈[1，e]，使λ＜$\frac{9}{2（x+\frac{4}{x}）}$成立”，
故λ＜${[\frac{9}{2（x+\frac{4}{x}）}]}_{max}$=$\frac{9}{2×4}$=$\frac{9}{8}$，
∴λ∈（-∞，$\frac{9}{8}$）．  …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．