Question

20．如图，多面体EFABCD中，底面ABCD是正方形，AF⊥平面ABCD，DE∥AF，AB=DE=2，AF=1．
（1）证明：BE⊥AC；
（2）在棱BE上是否存在一点N，使得直线CN与平面ADE成30°角，若存在，求出BN的长度：若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：证明AC⊥平面BDE，即可证明BE⊥AC；
法二由已知得DE⊥平面ABCD，DA、DE、DC两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE⊥AC．
（Ⅱ）设$\overrightarrow{BN}=λ\overrightarrow{BE}（0≤λ≤1）$，$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{CB}+λ\overrightarrow{BE}$=（-2λ+2，-2λ，2λ），$\overrightarrow{CD}$为平面ADE的法向量，由此利用向量法能求出BN的长．

解答 （1）证明：法一：连结BD，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC．--------------------------------------（2分）
∵AF⊥平面ABCD，DE∥AF，
∴DE⊥平面ABCD，---------------------------（3分）
∴DE⊥AC，------------------------------（4分）
∵BD、DE在平面BDE内，且相交于D，
∴AC⊥平面BDE，-----------------------------（5分）
∴BE⊥AC．------------------------------------（6分）
法二：∵AF⊥平面ABCD，DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，又∵ABCD是正方形，∴DA、DE、DC两两互相垂直，可建立如图的空间直角坐标系，-（2分）
∴A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（0，0，2），
∴$\overrightarrow{AC}=（-2，\;2，\;0）$，$\overrightarrow{BE}=（-2，-2，\;0）$，--------------------------------------------------------（4分）
∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}=（-2）×（-2）+2×（-2）+0×0=0$，∴$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BE}$，即BE⊥AC．-------------（6分）
（Ⅱ）解：∵AF⊥平面ABCD，DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，又∵ABCD是正方形，
∴DA、DE、DC两两互相垂直，可建立如图的空间直角坐标系，-------------------------（7分）
∴B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），D（0，0，0），
∴$\overrightarrow{CB}=（2，\;0，\;0）$，$\overrightarrow{BE}=（-2，-2，\;2）$，$\overrightarrow{CD}=（0，-2，\;0）$，-----------------------------------（8分）
∵点N在棱BE上，∴可设$\overrightarrow{BN}=λ\overrightarrow{BE}（0≤λ≤1）$，
∴$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{CB}+λ\overrightarrow{BE}$=（-2λ+2，-2λ，2λ），------------------------------------（9分）
由于CD⊥平面ADE，∴$\overrightarrow{CD}$为平面ADE的法向量．------------------------------------（10分）
当直线CN与平面ADE成30°角时，$＜\overrightarrow{CN}，\overrightarrow{CD}＞$=60°，
∴$cos＜\overrightarrow{CN}，\overrightarrow{CD}＞=\frac{{\overrightarrow{CN}•\overrightarrow{CD}}}{{|{\overrightarrow{CN}}||{\overrightarrow{CD}}|}}=\frac{（-2λ+2，-2λ，\;2λ）•（0，-2，\;0）}{{\sqrt{{{（-2λ+2）}^2}+{{（-2λ）}^2}+{{（2λ）}^2}}×2}}=\frac{λ}{{\sqrt{3{λ^2}+2λ+1}}}$，$\frac{λ}{{\sqrt{3{λ^2}+2λ+1}}}=cos60°=\frac{1}{2}$，解得$λ=-1±\sqrt{2}$，∵0≤λ≤1，∴$λ=\sqrt{2}-1$，---（12分）
∴BN=|$\overrightarrow{BN}$|=λ|$\overrightarrow{BE}$|=（$\sqrt{2}$-1）•$2\sqrt{3}$=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{3}$．------14

点评 本题主要考查空间线线垂直，线面垂直，直线与平面所成角，空间向量应用等基础知识；考查空间想象能力，运算求解能力，推理论证能力及探究能力．