Question

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是边长是1的正方形，侧棱PA与底面成45°的角，M，N，分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．
（3）直线PC与面PBD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲证MN∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PAD内一直线平行，根据三角形的中位线可知PC∥EO，满足定理条件；
（2）根据四棱锥P-ABCD的底面积为1，高为PD，即可求出四棱锥P-ABCD的体积；
（3）连接AC，BD，相交于点O，则可得AC⊥面PBD，故∠CPO为直线PC与面PBD所成角，由此可得结论．

解答：（1）证明：设PD的中点为E，连NE，AE

根据三角形的中位线可知NE∥CD，且NE=

1

2

CD，
∵AM∥CD，且AM=

1

2

CD，
∴NE∥AM，且NE=AM，∴MN∥AE，
又∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）解：四棱锥P-ABCD的底面积为1，
因为PD⊥平面ABCD，侧棱PA与底面成45°的角所以四棱锥P-ABCD的高为1，
所以四棱锥P-ABCD的体积为：

1

3

；
（3）解：连接AC，BD，相交于点O，连接PO，则AC⊥BD
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC
又∵BD∩PD=D，∴AC⊥面PBD
∴∠CPO为直线PC与面PBD所成角
∵PC=

2

，CO=

2

2

∴PO=

2

2

∴直线PC与面PBD所成角的余弦值为

1

2

点评：本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积，以及直线与平面平行的判定等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于中档题．