Question

3．已知函数f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（1）求函数f（x）的周期；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）当x取何值时，f（x）有最大值，最大值为多少？

Answer 1

分析 由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为$\frac{2π}{ω}$，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调增区间，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）函数y=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调增区间是：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（3）根据正弦函数的值域可得：当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，即x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z时，
函数y=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最大值为3．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性和值域及单调性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为$\frac{2π}{ω}$，正弦函数的值域，属于基础题．