Question

1．若函数f（x）=log_m（m-x）在区间[3，5]上的最大值比最小值大1，则实数m=3$+\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 分类讨论0＜m＜1时，函数f（x）=log_m（m-x）是单调递增函数，得出函数的最大值，最小值，得出方程log_m（m-5）-log_m（m-3）=1，
m＞1时，函数f（x）=log_m（m-x）是单调递减函数，log_m（m-3）-log_m（m-5）=1，求解即可．

解答 解：①∵0＜m＜1时，函数f（x）=log_m（m-x）是单调递增函数，
∴log_m（m-5）-log_m（m-3）=1，
即$\frac{m-5}{m-3}$=m，（m-2）²+1=0，无解；
②∵m＞1时，函数f（x）=log_m（m-x）是单调递减函数，
∴log_m（m-3）-log_m（m-5）=1，
$\frac{m-3}{m-5}$=m，
即m²-6m+3=0，
m=3$±\sqrt{6}$，
∵m-3＞0，m-5＞0，
∴m＞5，
∴m=3$+\sqrt{6}$符合题意，
故答案为；3$+\sqrt{6}$．

点评 本题考查了分类讨论思想的运用，函数的单调性，方程的求解属于综合题，属于中档题．