Question

16．已知x，y是正数，且xy=4，则$\frac{y}{\sqrt{x}}$+$\frac{x}{\sqrt{y}}$取得最小值时，x的值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{y}{\sqrt{x}}$+$\frac{x}{\sqrt{y}}$=$\frac{（\sqrt{y}）^{3}+（\sqrt{x}）^{3}}{\sqrt{xy}}$=$\frac{1}{2}$[$（\sqrt{y}）^{3}$+$（\sqrt{x}）^{3}$]≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{（\sqrt{y}）^{3}（\sqrt{x}）^{3}}$=2$\sqrt{2}$，由等号成立的条件可得．

解答 解：∵x，y是正数，且xy=4，
∴$\frac{y}{\sqrt{x}}$+$\frac{x}{\sqrt{y}}$=$\frac{（\sqrt{y}）^{3}+（\sqrt{x}）^{3}}{\sqrt{xy}}$
=$\frac{1}{2}$[$（\sqrt{y}）^{3}$+$（\sqrt{x}）^{3}$]≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{（\sqrt{y}）^{3}（\sqrt{x}）^{3}}$
=$\sqrt{（\sqrt{xy}）^{3}}$=2$\sqrt{2}$
当且仅当x=y=2时取等号，
故选：B．

点评 本题考查基本不等式，涉及等号成立的条件，属基础题．