Question

7．证明三个向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$共面的充分必要条件是
$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}}&{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}&{\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}}\\{\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}}&{\overrightarrow{b}\overrightarrow{b}}&{\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}}\\{\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}}&{\overrightarrow{c}\overrightarrow{b}}&{\overrightarrow{c}\overrightarrow{c}}\end{array}|$=0．

Answer 1

分析 问题转化为其中一个内积行向量可由另外两个线性表出，假设原三向量不共面，推出矛盾，得到原三向量共面，进而证出结论．

解答 解：行列式的矩阵由三个内积行向量组成．
行列式=0，等价于三个内积行向量共面，
等价于其中一个内积行向量可由另外两个线性表出．
假设是c行，表示出来比较：
（ca，cb，cc）=（（λa+μb）a，（λa+μb）b，（λa+μb）c）
如果原三向量不共面，那么（λa+μb）就是c向量，矛盾；
那么只能是原三向量共面．
原三向量共面，则其中一个可由另外两个线性表出，
假设是c向量，则c行的内积向量也可由另外两个内积行向量线性表出，
行列式=0；得证．

点评 不同考查了充分必要条件，考查向量问题，是一道中档题．