Question

18．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象与y=-2x²+3x的图象有相同的开口大小及方向，与二次函数y=x²-$\frac{1}{2}$x+1的图象有相同的对称轴，与二次函数y=4x²-x-1的图象在y轴上有相同的交点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）由函数y=x²的图象怎样得到函数f（x）的图象？

Answer 1

分析 （1）根据已知中二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象与y=-2x²+3x的图象有相同的开口大小及方向，与二次函数y=x²-$\frac{1}{2}$x+1的图象有相同的对称轴，与二次函数y=4x²-x-1的图象在y轴上有相同的交点，分别求出a，b，c值，可得函数f（x）的解析式；
（2）结合函数图象的平移变换法则，伸缩变换法则，和对称变换法则，可得到变换方法．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象与y=-2x²+3x的图象有相同的开口大小及方向，
∴a=-2，
又∵二次函数f（x）与二次函数y=x²-$\frac{1}{2}$x+1的图象有相同的对称轴，
∴$-\frac{b}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴b=-1，
又∵二次函数f（x）与二次函数y=4x²-x-1的图象在y轴上有相同的交点，
∴c=-1，
∴函数f（x）=-2x²-x-1；
（2）由f（x）=-2（x-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{7}{8}$，
故由函数y=x²的图象保持横坐标不变，再纵坐标拉长到原来的2倍，
再关于x轴对称变换，
再向右平移$\frac{1}{4}$个单位，再向下平移$\frac{7}{8}$个单位，得到函数f（x）的图象．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．