Question

12．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，且a_na_n+1=2ⁿ，a_n+a_n+1=b_n，则b₁₀等于（　　）

• A． 24
• B． 32
• C． 48
• D． 64

Answer 1

分析 通过a_na_n+1=2ⁿ，可知$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，从而数列{a_n}中奇数项、偶数项分别构成以2为公比的等比数列，进而可知a_2n-1=2^n-1、a_2n=2ⁿ，利用b₁₀=a₁₀+a₁₁计算即得结论．

解答 解：依题意，a_n＞0，
∵a_na_n+1=2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$，即$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，
∴数列{a_n}中奇数项、偶数项分别构成以2为公比的等比数列，
又∵a₂=$\frac{{2}^{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$=2，
∴a_2n-1=1•2^n-1=2^n-1，
a_2n=2•2^n-1=2ⁿ，
∴b₁₀=a₁₀+a₁₁
=${2}^{\frac{10}{2}}$+${2}^{\frac{11+1}{2}-1}$
=2⁶
=64，
故选：D．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．