【题目】某地棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地，测量可知边界AB＝AD＝4万米，BC＝6万米，CD＝2万米．
(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及AC的长；
(2)因地理条件的限制，边界AD，DC不能变更，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在
上设计一点P，使得棚户区改造后的新建筑用地APCD的面积最大，并求出最大值．
【答案】（1）
；（2）见解析.
【解析】试题分析：(1)利用圆内接四边形得到对角互补，再利用余弦定理求出相关边长，再利用三角形的面积公式和分割法进行求解 ；(2)利用余弦定理和基本不等式进行求解．
试题解析：(1)根据题意知，四边形ABCD内接于圆，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC.
在△ADC中，由余弦定理，得
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，即AC2＝42＋22－2×4×2×cos∠ADC.
又cos∠ABC＝－cos∠ADC，
∴cos∠ABC＝
，AC2＝28，即AC＝2
万米，
又∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝
.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×4×6×sin＋×2×4×sin
＝8
(平方万米)．
(2)由题意知，S四边形APCD＝S△ADC＋S△APC，
且S△ADC＝AD·CD·sin＝2 (平方万米)．
设AP＝x，CP＝y，则S△APC＝xysin＝
xy.
在△APC中，由余弦定理，得AC2＝x2＋y2－2xy·cos＝x2＋y2－xy＝28，
又x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy，
当且仅当x＝y时取等号，∴xy≤28.
∴S四边形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9 (平方万米)，
故所求面积的最大值为9平方万米，此时点P为
的中点．
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【题目】设函数f(x)的定义域为D，如果x∈D，y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“Ω函数”．给出下列四个函数：①y＝sin x；②y＝2x；③y＝
；④f(x)＝ln x．则其中“Ω函数”共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】已知函数f(x)＝
(a∈R)．
(Ⅰ)求f(x)的单调区间与极值；
(Ⅱ)若函数f(x)的图象与函数g(x)＝1的图象在区间(0，e2]上有两个公共点，求实数a的取值范围．
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【题目】选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
．以坐标原点为极点，以
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（Ⅰ）写出
的普通方程和
的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线
与曲线
交于A,B两点，当
时，求
的值．
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【题目】已知函数f(x)＝|x－1|.
(Ⅰ)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；
(Ⅱ)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(
)．
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【题目】(导学号：05856264)
已知函数f(x)＝aln x，e为自然对数的底数．
(Ⅰ)曲线f(x)在点A(1，f(1))处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为2，求实数a的值；
(Ⅱ)若f(x)≥1－
恒成立，求实数a的值取值范围．
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【题目】(本小题满分10分)一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的
五种商品有购买意向.已知该网民购买
两种商品的概率均为
，购买
两种商品的概率均为
，购买
种商品的概率为
.假设该网民是否购买这五种商品相互独立.
（1）求该网民至少购买4种商品的概率；
（2）用随机变量
表示该网民购买商品的种数，求
的概率分布和数学期望.
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