Question

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a^x•g（x）（a＞0，且a≠1），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

．

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，若数列{

f(n)

g(n)

}的前n项和大于62，则n的最小值为（　　）

• A、6
• B、7
• C、8
• D、9

Answer 1

分析：由f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可得

f(x)

g(x)

=ax单调递增，从而可得a＞1，结合

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=a+a-1=

5

2

，可求a．利用等比数列的求和公式可求

f(1)

g(1)

+

f(2)

g(2)

+…+

f(n)

g(n)

=a+a2+…+an，从而可求

解答：解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）
∴f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，
∴(

f(x)

g(x)

)′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＞0
从而可得

f(x)

g(x)

=ax单调递增，从而可得a＞1
∵

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=a+a-1=

5

2

，∴a=2
故

f(1)

g(1)

+

f(2)

g(2)

+…+

f(n)

g(n)

=a+a2+…+an
=2+2²+…+2ⁿ=

2(2-2n)

1-2

=2n+1-2＞62
∴2ⁿ⁺¹＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N^*
∴n=6
故选：A

点评：本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性，等比数列的求和公式的求解，解题的关键是根据已知构造函数

f(x)

g(x)

=ax单调递增．