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精英家教网如图:在二面角α-l-β中,A、B∈α,C、D∈l,ABCD为矩形,p∈β,PA⊥α,且PA=AD,M、N依次是AB、PC的中点,
(1)求二面角α-l-β的大小
(2)求证:MN⊥AB
(3)求异面直线PA和MN所成角的大小.
分析:(1)连接PD,结合已知中ABCD为矩形,PA⊥α,我们可由三垂线定理得∠ADP为二面角α-l-β的平面角,由PA⊥α,且PA=AD,可判断△PAD为等腰直角三角形,进而得到二面角α-l-β的大小
(2)设E为DC中点,连接NE,易由平面MEN∥平面APD.AB∥CD,由线面垂直的第二判定定理,结合CD⊥平面APD,得到AB⊥平面MEN.进而AB⊥MN.
(3)设F为DP中点.连接AG,GN,可证得FNMA为平行四边形,故异面直线PA与MN的夹角为∠FAP,结合△PAD为等腰直角三角形,易求出∠FAP的大小.
解答:解:(1)连接PD,∵PA⊥α.∠ADC=90°.
∴∠PDC=90°(三垂线定理).
∠ADP为二面角α-l-β的平面角.
∴△PAD为等腰直角三角形.
∴二面角α-l-β为45°.
(2)设E为DC中点,精英家教网连接NE,
则NE∥PD,ME∥AD.
由面面平行的判定定理得:
平面MEN∥平面APD.
AB∥CD
∵CD⊥平面APD
∴AB⊥平面APD
∴AB⊥平面MEN.
∴AB⊥MN.
(3)设F为DP中点.连接AG,GN
则FN=
1
2
DC=AM.FN∥DC∥AM.
∴FNMA为平行四边形
则异面直线PA与MN的夹角为∠FAP
∠FAP=
1
2
∠PAD=45°(等腰直角三角形DAP上直角的一半).
点评:本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,其中(1)的关键是证得∠ADP为二面角α-l-β的平面角,(2)要注意空间中线面垂直,线线垂直,面面垂直之间的相互转化,(3)的关键是证得∠FAP为异面直线PA与MN的夹角.
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