Question

【题目】已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c﹣16

∴ ，即 ，化简得

解得a=1，b=﹣12

（2）解：由（1）知f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）

令f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）=0，解得x1=﹣2，x2=2

当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，故f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣2，2）上为减函数；

当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数；

由此可知f（x）在x1=﹣2处取得极大值f（﹣2）=16+c，f（x）在x2=2处取得极小值f（2）=c﹣16，

由题设条件知16+c=28得，c=12

此时f（﹣3）=9+c=21，f（3）=﹣9+c=3，f（2）=﹣16+c=﹣4

因此f（x）在[﹣3，3]上的最小值f（2）=﹣4

【解析】（1）由题设f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c﹣16，可得 解此方程组即可得出a，b的值；（2）结合（1）判断出f（x）有极大值，利用f（x）有极大值28建立方程求出参数c的值，进而可求出函数f（x）在[﹣3，3]上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出f（x）在[﹣3，3]上的最小值即可．