Question

【题目】已知椭圆的两个焦点为 ， 是椭圆上一点，若 ， ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l过右焦点 （不与x轴重合）且与椭圆相交于不同的两点A，B，在x轴上是否存在一个定点P（x0 ， 0），使得 的值为定值？若存在，写出P点的坐标（不必求出定值）；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意椭圆的焦点在x轴上， （a＞b＞0），

c= ，| |2+| |2=（2c）2=20，| || |=8

∴（| |+| |）2=| |2+| |2+2| || |=36 解得：| |+| |=6，

2a=6，则a=3 b2=a2﹣c2=4

∴椭圆的方程为：

（2）解：解法一：设直线l的方程为：x=my+ ，

，并消元整理得：（4m2+9）x2﹣18 x+45﹣36m2=0，…①

设A（x1，y1），B（x2，y2），则是方程①的两个解，由韦达定理得：

x1+x2= ，x1x2= ，y1y2= （x1﹣ ）（x2﹣ ）= （ x1x2﹣ （x1+x2）+5）=﹣ ，

=（x1﹣x0，y1）（x2﹣x0，y2）=（ x1﹣x0）（ x2﹣x0）+y1y2=x1x2﹣x0（x1+x2）+x02+y1y2

= ﹣ ×x0+x02+（﹣ ）= ，

令 =t 则（4x02﹣36）m2+9x02﹣18 x0+29=t（4m2+9），

比较系数得：4x02﹣36=4t且9x02﹣18 x0+29=9t 消去t得：36x02﹣36×9=36x02﹣72 x0+29×4 解得：x0= ，

∴在x轴上存在一个定点P（ ，0），使得 的值为定值（﹣ ）；

解法二：当直线与x轴不垂直时，设直线l方程为：y=k（x﹣ ），代入椭圆方程并消元整理得：

（9k2+4）x2﹣18 k2x+45k2﹣36=0…①

设A（x1，y1），B（x2，y2），则是方程①的两个解，由韦达定理得：

x1+x2= ，x1x2= ，

y1y2=k2（x1﹣ ）（x2﹣ ）=k2（ x1x2﹣ （x1+x2）+5）=﹣ ，

=（x1﹣x0，y1）（x2﹣x0，y2）=（ x1﹣x0）（ x2﹣x0）+y1y2=x1x2﹣x0（x1+x2）+x02+y1y2，

= ，

令 =t 则（9x02﹣18 x0+29）k2+4x02﹣36=t（4+9k2），

9x02﹣18 x0+29=9 t且 4x02﹣36=4t，

解得：x0= ，此时t的值为﹣ ，

当直线l与x轴垂直时，l的方程为：x= ，代入椭圆方程解得：A（ ，﹣ ），B（ ， ），

=（﹣ ，﹣ ）（﹣ ， ）= ﹣ =﹣ ，

∴当直线l与x轴垂直时， 也为定值﹣ ，

综上，在x轴上存在一个定点P（ ，0），使得 的值为定值（﹣ ）

【解析】（1）根据椭圆的定义及勾股定理即可求得a=3，c= ，b2=a2﹣c2=4，即可求得椭圆方程；（2）方法一：设直线l：x=my+ ，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算， =t 则（4x02﹣36）m2+9x02﹣18 x0+29=t（4m2+9），比较系数，即可求得x0= ，在x轴上存在一个定点P（ ，0），使得 的值为定值（﹣ ）； 方法二：分类讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x﹣ ），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，令 =t 则（9x02﹣18 x0+29）k2+4x02﹣36=t（4+9k2），9x02﹣18 x0+29=9 t且4x02﹣36=4t，即可求得x0= ，此时t的值为﹣ ．