Question

已知函数f(x)=

x3

a2

图象上斜率为3的两条切线间的距离为

2 10

5

，函数g(x)=f(x)-

3bx

a2

+3．
（1）若函数g（x）在x=1处有极值，求g（x）的解析式；
（2）若函数g（x）在区间[-1，1]上为增函数，且b²-mb+4≥g（x）在x∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出斜率为3的切线方程，根据两条切线间的距离求出a值，再讨论满足g′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，求出b即可．
（2）欲使函数g（x）在区间[-1，1]上为增函数只需转化成g′（x）≥0在区间[-1，1]上恒成立，求出b的范围，根据g（x）在x∈[-1，1]是增函数知g（x）的最大值为g（1），只需使b²-mb+4≥g（1）恒成立即可．

解答：解：（1）∵f′(x)=

3

a2

•x2，
∴由

3

a2

•x2=3得x=±a，
即切点坐标为（a，a），（-a，-a）
∴切线方程为y-a=3（x-a），或y+a=3（x+a）（2分）
整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0
∴

|-2a-2a|

32+(-1)2

=

2 10

5

，
解得a=±1，
∴f（x）=x³．
∴g（x）=x³-3bx+3（4分）
∵g′（x）=3x²-3b，g（x）在x=1处有极值，
∴g′（1）=0，
即3×1²-3b=0，解得b=1
∴g（x）=x³-3x+3（6分）
（2）∵函数g（x）在区间[-1，1]上为增函数，
∴g′（x）=3x²-3b≥0在区间[-1，1]上恒成立，
∴b≤0，
又∵b²-mb+4≥g（x）在区间[-1，1]上恒成立，
∴b²-mb+4≥g（1）（8分）
即b²-mb+4≥4-3b，若b=0，则不等式显然成立，若b≠0，
则m≥b+3在b∈（-∞，0）上恒成立
∴m≥3．
故m的取值范围是[3，+∞）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数极值，以及函数恒成立问题和利用待定系数法求解析式，属于基础题．