Question

某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P=3-

2

x+1

（其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为(4+

20

P

)万元/万件．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

Answer 1

分析：（1）根据题意售价为(4+

20

P

)万元/万件，销售量为P，成本为（10+2P）+x万元，利用利润=销售额-成本，即可列出函数关系式；
（2）对a进行分类讨论，当a≥1时，利用基本不等式即可求得最值，当a＜1时，利用导数确定函数的单调性，从而求得最值，即可得到答案．

解答：解：（1）由题意知，该产品售价为2×(

10+2P

P

)万元，销售量为P，成本为（10+2P）+x万元，
∴y=2×(

10+2P

P

)×P-10-2P-x，
∵P=3-

2

x+1

（其中0≤x≤a，a为正常数），
∴y=2×

10+2(3- 2 x+1 )

3- 2 x+1

×(3-

2

x+1

)-10-2×（3-

2

x+1

）-x=16-x-

4

x+1

，
∴y=16-(

4

x+1

+x)（0≤x≤a），
∴该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数为y=16-(

4

x+1

+x)（0≤x≤a）；
（2）由（1）可知，y=16-(

4

x+1

+x)（0≤x≤a），
∴y=17-(

4

x+1

+x+1)≤17-2

4 x+1 ×(x+1)

=13，
当且仅当

4

x+1

=x+1，即x=1时取等号，
∵0≤x≤a，
①当a≥1时，x=1时，y取得最大值为13，
∴促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
②当a＜1时，y=16-(

4

x+1

+x)，
∴y′=

-(x-1)•(x+3)

(x+1)2

＞0，解得-3＜x＜1，
∴y=17-(

4

x+1

+x+1)在（-3，1）上单调递增，
∴y=17-(

4

x+1

+x+1)在[0，a]上单调递增，
∴在x=a时，函数有最大值，
∴促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综合①②可得，当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，
当a＜1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．在运用数学方法求解最值时，选用了基本不等式和导数的方法求解．属于中档题．