Question

设等差数列{a_n}的公差d≠0，数列{b_n}为等比数列，若a₁=b₁=a，a₃=b₃，a₇=b₅
（1）求数列{b_n}的公比q；
（2）若a_n=b_m，n，m∈N^*，求n与m之间的关系；
（3）将数列{a_n}，{b_n}中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列{c_n}，是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r）使得p，q，r和c_p+p，c_q+q，c_r+r均成等差数列？说明理由．

Answer 1

分析：（1）依题意，通过解方程组

aq2=a+2d aq4=a+6d

即可求得数列{b_n}的公比q；
（2）由a_n=b_n可求得d=

a

2

，代入整理有n+1=（±1）^m-1•2

m+1

2

，可分析（±1）^m-1＞0，从而可得n与m之间的关系；
（3）设a_n=b_n，令m=2k-1（k∈N^*），可求得b_m=a•2^k-1，令c_n=2^n-1a，若存在正整数p、q、r（p＜q＜r）满足题意

2q=p+r 2(a•2q-1+q)=(a•2p-1+p)(a•2r-1+r)

，由基本不等式可得出矛盾，从而可得结论．

解答：解：（1）设{b_n}的公比为q，由题意

aq2=a+2d aq4=a+6d

即

aq2-a=2d aq4-a=6d

--------------------------------------------（2分）
q=1不合题意，故

q2-1

q4-1

=

1

3

，解得q²=2，
∴q=±

2

----------------（4分）
（2）由a_n=b_n得：a+（n-1）d=aq^n-1，又2d=aq²-a=a，
∴d=

a

2

------------------（6分）
∴1+

n-1

2

=(±

2

)m-1即n+1=（±1）^m-1•2

m+1

2

--------------------------（8分）
∵n+1∈N^*，
∴（±1）^m-1＞0，
∴m为奇数，且n=2

m+1

2

-1，-------（10分）
（3）若{a_n}与{b_n}有公共项，不妨设a_n=b_n，
由（2）知：m为奇数，且n=2

m+1

2

-1，
令m=2k-1（k∈N^*），则b_m=a•(

2

)2k-1-1=a•2^k-1，
∴c_n=2^n-1a---------------------------------------------------------------（12分）
若存在正整数p、q、r（p＜q＜r）满足题意，则

2q=p+r 2(a•2q-1+q)=(a•2p-1+p)(a•2r-1+r)

∴2^q=2^p-1+2^r-1，又2^p-1+2^r-1≥2

2p+r-2

=2

p+r

2

（当且仅当p=r时取“=”）
又∵p≠r，
∴2^p-1+2^r-1＞2

p+r

2

----------------------（14分）
又y=2^x在R上增，
∴q＞

p+r

2

．与题设q=

p+r

2

矛盾，
∴不存在p、q、r满足题意．---------------------------------------------------（16分）

点评：本题考查等差数列的通项公式与等比数列的通项公式的综合应用，考查方程思想与化归思想的综合运用，突出抽象思维与逻辑推理能力的考查，属于难题．