Question

9．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a₂+a₄=10．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过设等差数列{a_n}的公差为d，利用等差中项及a₂+a₄=10可知a₃=5，通过S₄=4S₂可知4a₃-2d=4（2a₃-3d），计算可得d=2，进而计算即得结论；
（2）通过$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$与$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$作差，结合（1）整理可知b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$（n≥2），验证当n=1时也成立，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₂+a₄=10，
∴a₃=$\frac{{a}_{2}+{a}_{4}}{2}$=5，
∵S₄=4S₂，
∴4a₃-2d=4（2a₃-3d），
即20-2d=4（10-3d），解得：d=2，
∴a_n=a₃+2（n-3）=2n-1；
（2）依题意，$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，
当n≥2时，$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
两式相减得：$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
由（1）可知b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$（n≥2），
又∵b₁=（1-$\frac{1}{2}$）a₁=$\frac{1}{2}$满足上式，
∴b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，
故T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．