Question

1．在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）当PA⊥CD，PA=AC，AB=1，PD=2$\sqrt{5}$时，求二面角P-CE-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 （1）证明：延长DC，AB交于点N，连PN．因为∠NAC=∠DAC，AC⊥CD，
所以C为ND的中点．           
而E为PD中点，所以EC∥PN．                                          
因为EC?平面PAB，PN?平面PAB，
所以EC∥平面PAB．
（2）∵PA⊥CD，PA=AC，AB=1，PD=2$\sqrt{5}$，
∴AC=PC=2，AD=4，
则PA²+AD²=PD²，
即△PAD为直角三角形，
则PA⊥AD，
又∵CD∩AD=D，
∴PA⊥平面ACD，
以C为原点，以CA的反向延长线为x轴，CD为y轴，和PA平行的直线为z轴，
建立空间直角坐标系如图：
则C（0，0，0），A（-2，0，0），D（0，2$\sqrt{3}$，0），P（-2，0，2），E（-1，$\sqrt{3}$，1），
则$\overrightarrow{CD}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{CP}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{CE}$=E（-1，$\sqrt{3}$，1），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为面PCD的一个法向量，
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}y=0}\\{-2x-2z=0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{x+z=0}\end{array}\right.$，令x=1，则z=-1，
即$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为面ACE的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2x=0}\\{-x+\sqrt{3}y+z=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{z=-\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，
令y=1，则z=-$\sqrt{3}$，
则$\overrightarrow{m}$=（0，1，-$\sqrt{3}$）
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}•\sqrt{1+3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
即二面角P-CE-A的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题综合考查空间中线线面平行的判定和空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等．