Question

10．如图，边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为BB₁、C₁C的中点，DG=$\frac{1}{3}$DD₁，过E、F、G的平面交AA₁于点H，求A₁D₁到面EFGH的距离．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A₁D₁到面EFGH的距离．

解答 解：∵边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为BB₁、C₁C的中点，
DG=$\frac{1}{3}$DD₁，过E、F、G的平面交AA₁于点H，
∴AH=$\frac{1}{3}$AA₁，∴A₁D₁∥平面EFGH，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A₁（1，0，1），H（1，0，$\frac{1}{3}$），G（0，0，$\frac{1}{3}$），E（1，1，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{H{A}_{1}}$=（0，0，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{HG}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{HE}$=（0，1，$\frac{1}{6}$），
设平面EFGH的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HG}=-x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HE}=y+\frac{z}{6}=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-6），
∴A₁D₁到面EFGH的距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{H{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-4|}{\sqrt{37}}$=$\frac{4\sqrt{37}}{37}$．

点评 本题考查直线与平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．