Question

5．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（3，-4），$\overrightarrow{OB}$=（6，-3），$\overrightarrow{OC}$=（5-x，3）．
（1）若点A，B，C三点共线，求x的值；
（2）若△ABC为直角三角形，且∠B为直角，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由点A，B，C三点共线可得$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$共线，解关于x的方程可得；
（2）由△ABC为直角三角形可得$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，解关于x的方程可得．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OA}$=（3，-4），$\overrightarrow{OB}$=（6，-3），$\overrightarrow{OC}$=（5-x，3），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=（3，1），$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=（-1-x，6）
∵点A，B，C三点共线，∴$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$共线，
∴3×6=-1-x，解得x=-19；
（2）∵△ABC为直角三角形，且∠B为直角，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=3（-1-x）+6=0，
解得x=1．

点评 本题考查向量的平行和垂直关系，属基础题．