Question

15．已知{a_n}是等差数列，a₁=2，a₃+a₆+a₉=36．数列{b_n-a_n}的前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+2（n∈N^*），b₁=4
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项的和．

Answer 1

分析 （1）由已知求出等差数列的公差，可得数列{a_n}的通项公式，再由S_n+1=2S_n+2，利用构造等比数列求得S_n，再由数列{b_n-a_n}的前n项和为S_n，结合数列的分组求和可得{b_n}的前n项和，进而求得{b_n}的通项公式；
（2）直接由（1）可得数列{b_n}的前n项的和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₃+a₆+a₉=36，
得3a₆=36，a₆=12，
又a₁=2，∴$d=\frac{{a}_{6}-{a}_{1}}{6-1}=\frac{12-2}{5}=2$，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
再由S_n+1=2S_n+2，得S_n+1+2=2（S_n+2），
∴数列{S_n+2}是以S₁=b₁-a₁=4-2=2为首项，以2为公比的等比数列，
则${S}_{n}+2={2}^{n}$，
∴${S}_{n}={2}^{n}-2$．
则（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=（b₁+b₂+…+b_n）-（a₁+a₂+…+a_n）
=（b₁+b₂+…+b_n）-（2n+$\frac{n（n-1）×2}{2}$）=（b₁+b₂+…+b_n）-（n²+n）=2ⁿ-2．
∴b₁+b₂+…+b_n=2ⁿ+n²+n-2．
则当n≥2时，b_n=2ⁿ+n²+n-2-2^n-1-（n-1）²-（n-1）+2=2^n-1+2n．
验证b₁=4不适合上式．
∴${b}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{{2}^{n-1}+2n，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，数列{b_n}的前n项的和T_n=b₁+b₂+…+b_n=2ⁿ+n²+n-2．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，考查数列的分组求和，关键是掌握对于任意数列{a_n}，都有a_n=S_n-S_n-1（n≥2），是中档题．