Question

7．已知（$\root{3}{x}$+x²）²ⁿ的展开式的二项式系数和比（3x-1）ⁿ的展开式的二项式系数和大992，
（1）求（2x+$\frac{1}{2}$）²ⁿ的二项式系数最大的项：
（2）求（2x+$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展开式系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）由条件求得m=5，利用二项式系数的性质可得第6项的二项式系数最大，由通项公式可得该项．
（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，由通项公式可得C₁₀^r2^10-r≥C₁₀^r+12^9-r，C₁₀^r2^10-r≥C₁₀^r-12^11-r，求得 r=3，可得第4项的系数的绝对值最大，再利用二项式展开式的通项公式，求得该项．

解答 解：（1）由题意可得2²ⁿ=2ⁿ+992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，∴2ⁿ=32，n=5．
由于（2x+$\frac{1}{x}$）¹⁰的展开式共有11项，故第6项的二项式系数最大，
由通项公式可得该项为 T₆=${C}_{10}^{5}$•（-1）⁵•2⁵=-8064．
（2）设第r+1项的系数最大，∵T_r+1=${C}_{10}^{r}$•（-1）^r•2^10-r•x^10-2r，
∴C₁₀^r2^10-r≥C₁₀^r+12^9-r，C₁₀^r2^10-r≥C₁₀^r-12^11-r，
求得$\frac{8}{3}$≤r≤$\frac{11}{3}$，∴r=3，
故第4项的系数最大，该项为T₄=-C₁₀³•2⁷•x⁴=-15360x⁴．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．