Question

17．已知a、β为锐角，且3sin²a+2sin²β=1，3sin2a-2sin2β=0．求a+2β值．

Answer 1

分析 利用条件可得3sin²a=cos2β，sin2β=$\frac{3}{2}$sin2a，平方相加，求出sina，可得cos2β=sina=cos（$\frac{π}{2}$-a），利用余弦函数在（0，$\frac{π}{2}$）有单调性，即可求a+2β值．

解答 解：∵3sin²a+2sin²β=1，
∴3sin²a=1-2sin²β=cos2β
∵3sin2a-2sin2β=0，
∴sin2β=$\frac{3}{2}$sin2a，
∴（$\frac{3}{2}$sin2a）²+3sin²a=1
设（sina）²=t，则9t²+9t（1-t）=1，解得t=$\frac{1}{9}$，从而sina=$\frac{1}{3}$，cosa=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∵2β∈（0，2π）且cos2β=3sin²a=$\frac{1}{3}$＞0，∴2β∈（0，π）．
∵a∈（0，$\frac{π}{2}$），∴$\frac{π}{2}$-a∈（0，$\frac{π}{2}$）．
由cos2β=sina=cos（$\frac{π}{2}$-a）且余弦函数在（0，$\frac{π}{2}$）有单调性，可得2β=$\frac{π}{2}$-a，即a+2β=$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，正确化简是关键．