Question

2．若数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意正整数n都有S_n=$\frac{4}{3}$（a_n-2），设b_n=log₂a_n
（1）证明数列{b_n}是等差数列；
（2）设c_n=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{4（n+1）}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=$\frac{4}{3}$（a_n-2）与S_n-1=$\frac{4}{3}$（a_n-1-2）作差，整理可知a_n=4a_n-1（n≥2），进而可知数列{b_n}是首项为3、公差为2的等差数列；
（2）通过（1）裂项可知c_n=（-1）ⁿ⁺¹（$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+3}$），分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．

解答 （1）证明：∵S_n=$\frac{4}{3}$（a_n-2），
∴当n≥2时，S_n-1=$\frac{4}{3}$（a_n-1-2），
两式相减得：a_n=$\frac{4}{3}$（a_n-a_n-1），
整理得：a_n=4a_n-1（n≥2），
又∵S₁=$\frac{4}{3}$（a₁-2），即a₁=8，
∴数列{a_n}是首项为8、公比为4的等比数列，
∴b_n=log₂a_n=b_n=log₂（8•4^n-1）=log₂2²ⁿ⁺¹=2n+1，
于是数列{b_n}是首项为3、公差为2的等差数列；
（2）解：由（1）可知$\frac{4（n+1）}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{4（n+1）}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+3}$，
从而c_n=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{4（n+1）}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=（-1）ⁿ⁺¹（$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+3}$），
当n为偶数时，T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{9}$-…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$
=$\frac{2n}{3（2n+3）}$；
当n为奇数时，T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{9}$-…-$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+3}$
=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2n+3}$
=$\frac{2n+6}{3（2n+3）}$；
综上所述，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2n+6}{3（2n+3）}，}&{n为奇数}\\{\frac{2n}{3（2n+3）}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．