Question

12．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，线段OF₁，OF₂的中点分别为B₁，B₂，且△AB₁B₂是面积为1的直角三角形．
（1）求该椭圆的离心率和标准方程；
（2）过B₁作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB₂⊥QB₂，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由△AB₁B₂是面积为1的等腰直角三角形知|OA|=|OB₁|=1，从而求a，b，c即可；
（2）分类讨论，从而设直线l的方程为y=k（x+1），（k≠0），从而联立方程化简得（5k²+1）x²+10k²x+5k²-5=0，从而利用平面向量化简即可．

解答 解：（1）∵△AB₁B₂是面积为1的直角三角形，
∴△AB₁B₂是面积为1的等腰直角三角形，
∴|OA|=|OB₁|=1，
∴b=|OA|=1，c=2|OB₁|=2，
∴a=$\sqrt{5}$，e=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴标准方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1．
（2）①当直线l与x轴垂直时，显然PB₂与QB₂不垂直，
②当直线l与x轴重合时，显然PB₂与QB₂重合，故不成立，
③设直线l的方程为y=k（x+1），（k≠0），
联立方程得$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
即（5k²+1）x²+10k²x+5k²-5=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{10{k}^{2}}{5{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{5{k}^{2}-5}{5{k}^{2}+1}$，
∵PB₂⊥QB₂，
∴$\overrightarrow{{B}_{2}P}$•$\overrightarrow{{B}_{2}Q}$=0，
∴（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=0，
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1+k²（x₁+1）（x₂+1）=0，
即（k²+1）x₁x₂+（k²-1）（x₁+x₂）+1+k²=0，
即（k²+1）$\frac{5{k}^{2}-5}{5{k}^{2}+1}$-（k²-1）$\frac{10{k}^{2}}{5{k}^{2}+1}$+1+k²=0，
即16k²-4=0，
解得，k=$\frac{1}{2}$或k=-$\frac{1}{2}$；
故直线l的方程为：y=$\frac{1}{2}$（x+1）或y=-$\frac{1}{2}$（x+1），
即l的方程为：x-2y+1=0或x+2y+1=0．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及分类讨论的思想应用，同时考查了直线与圆锥曲线的关系应用．