Question

2．命题p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0；q：实数x满足2＜x≤3．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）当a=1时，命题p：实数x满足1＜x＜3；q：实数x满足2＜x≤3．p∧q为真，可得$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x≤3}\end{array}\right.$，解得x范围．
（II）由于q是p的充分条件，可得$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3＜3a}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（I）当a=1时，命题p：实数x满足1＜x＜3；q：实数x满足2＜x≤3．
∵p∧q为真，∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x≤3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3．
∴实数x的取值范围为（2，3）．
（II）∵q是p的充分条件，∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3＜3a}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤2．
∴实数a的取值范围是（1，2]．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法、集合的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．