Question

17．已知半径为2，圆心在直线y=x+2上的圆C．
（1）当圆C经过点A（2，2）且与y轴相切时，求圆C的方程；
（2）已知E（1，1），F（1，3），若圆C上存在点Q，使|QF|²-|QE|²=32，求圆心横坐标a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可设圆心坐标为（a，-a+2），圆的方程为（x-a）²+[y-（-a+2）]²=4，利用圆经过点A（2，2）且与y轴相切，建立方程，即可求圆C的方程；
（2）设Q（x，y），则由|QF|²-|QE|²=32得y=3，即Q在直线y=3上，根据Q在（x-a）²+[y-（-a+2）]²=4上，可得⊙C与直线y=3有交点，从而可求圆心的横坐标a的取值范围．

解答 解：（1）∵圆心在直线y=x+2上，
∴可设圆心坐标为（a，a+2），圆的方程为（x-a）²+[y-（a+2）]²=4，
∵圆经过点A（2，2）且与y轴相切，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）^{2}+[2-（-a+2）]^{2}=4}\\{|a|=2}\end{array}\right.$，解得a=2，
∴所求方程是：（x-2）²+y²=4；
（2）设Q（x，y），则由|QF|²-|QE|²=32得：（x-1）²+（y+3）²-[（x-1）²+（y-1）²]=32，即y=3，
∴Q在直线y=3上，
∵Q在（x-a）²+[y-（-a+2）]²=4上，
∴⊙C与直线y=3有交点，
∵⊙C的圆心纵坐标为-a+2，半径为2，
∴⊙C与直线y=3有交点的充要条件是1≤-a+2≤5，
∴-3≤a≤1，即圆心的横坐标a的取值范围是-3≤a≤1．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．