Question

9．等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n+1=2log₃$\frac{1}{{a}_{n}}$，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比中项及a₃²=9a₂a₆可知a₃²=9a₄²，进而可得q=$\frac{1}{3}$，利用2a₁+3a₂=1可知a₁=$\frac{1}{3}$，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知b_n=2n-1，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由a₃²=9a₂a₆得：a₃²=9a₄²，即q²=$\frac{1}{9}$，
∵q＞0，∴q=$\frac{1}{3}$，
又2a₁+3a₂=1，∴a₁=$\frac{1}{3}$  …（3分）
∴a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，…（6分）
（2）由b_n+1=2log₃$\frac{1}{{a}_{n}}$得：b_n=2n-1，
令c_n=a_nb_n=（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ…（8分）
∴S_n=1×$\frac{1}{3}$+3×（$\frac{1}{3}$）²+5×（$\frac{1}{3}$）³+…+（2n-3）×（$\frac{1}{3}$）^n-1+（2n-1）×（$\frac{1}{3}$）ⁿ…①
$\frac{1}{3}$S_n=1×（$\frac{1}{3}$）²+3×（$\frac{1}{3}$）³+5×（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（2n-3）×（$\frac{1}{3}$）ⁿ+（2n-1）×（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹…②
①-②得：$\frac{2}{3}$S_n=1×$\frac{1}{3}$+2[（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+…+（$\frac{1}{3}$）^n-1+（$\frac{1}{3}$）ⁿ]-（2n-1）×（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{3}$+2×$\frac{\frac{1}{{3}^{2}}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（2n-1）×（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
∴S_n=1-$\frac{n+1}{3n}$…（12分）

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．